私の研究・興味のある分野について③ ～高木函数～（数学専攻M1）
こんにちは。数学専攻M1の松岡です。
「私の研究・興味のある分野」について引き続き紹介します。前回までは「病的函数」の1つの例であるWeierstrass函数についてお話ししました。前回までの内容はこちらです: ・前々回の記録（病的函数って何？① ～Weierstrassの函数について～ ）
・前回の記録（病的函数って何？② ～[続] Weierstrassの函数について～ ）
今回は，病的函数のもう1つの有名な例である「高木函数」といわれるものを紹介しましょう。
まず，函数の名前に「高木」という日本人の苗字が付いているのが気になりますよね？
この「高木」は日本人の数学者である高木貞治（1875-1960）のことです。私自身，代数学の分野について詳しく無いので詳細は知らないのですが，高木貞治は代数的整数論に於いて多くの功績を残している人物と聞きます。また，高木貞治は多くの日本語の数学教科書を著しています。特に「解析概論」という名前の教科書はとても有名です。 (中央図書館の1階にも置いてあります。)
では，その高木函数といわれるものを定義していきましょう。
以下， $\mathbb{Z}$ を整数全体の集合とします。 函数 $d : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を, \[ d(x) = \inf \bigl\{ |x-z| \mid z \in \mathbb{Z} \bigr\} , \quad x \in \mathbb{R} \] で定義します。
この $d$ という函数は，実数直線上の点 $x$ に対して，それと一番近い整数の点との距離を表すものです。勿論, $x$ が整数のときは，その点自身が整数なので自分自身との距離は $0$ となり, $d(x)=0$ がいえます。
一目で分かるようにグラフを描いてみましょう。
(正の部分のみ描いていますが負の部分でも同じ形をしています)
これが整数との距離函数 $d$ のグラフです。ノコギリの歯のような形が実数直線状に延びている形になります。
この $d$ を用いて, 高木函数 $T$ を定義します。
函数 $T:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を, \[ T(x) = \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{2^j} d(2^jx), \quad x \in \mathbb{R} \] と定義します。これを高木函数 (the Takagi function) と呼びます。この高木函数 $T$ は, 1903年に高木貞治が与えた函数です。(より正確にいうと,この $T$ は高木貞治が与えたものに同値なものです。)
早速このグラフを見てみましょう。Weierstrassの函数のときと同様に，右辺は無限和で表されているので $n\in \mathbb{N}$ として,一旦 \[ T_{n}(x) = \sum_{j=0}^n \frac{1}{2^j} d(2^jx), \quad x \in \mathbb{R} \] とおきます。そこで $\{T_{n}(x)\}$ を $n=1,\cdots,9$ で変化させたグラフをアニメーションで見てみましょう。
（区間 $[0,1]$ を拡大していますが，同じ形が周期的に現れるグラフになります）
この高木函数もWeierstrassの函数と同様に, $\mathbb{R}$ 上の全ての点で連続だが全ての点で微分不可能という病的な性質を持っています。しかしその反面この高木函数は，数論や確率論の分野とも密接に関連していることが明らかになっており，重要な函数であることが分かってきています。
最後に余談ですが，私がこの高木函数を初めて知ったのは学部1年の解析学の授業の時でした。以前紹介したWeierstrass函数と同時にこの函数の存在を知りました。私自身この高木函数について詳しく研究してるわけではないのですが，以前に卒業された同じゼミの修士課程の先輩方は，この高木函数に関連したことについて詳しく勉強・研究されていたようです。
次回以降も今までに挙げた病的函数や，他の「私の研究・興味のある分野」について紹介していければと思います。
次回は11/4(水)16:00-17:30でブースに居ます。興味・関心のある方はぜひお越しください！
「私の研究・興味のある分野」について引き続き紹介します。前回までは「病的函数」の1つの例であるWeierstrass函数についてお話ししました。前回までの内容はこちらです:
・前回の記録（病的函数って何？② ～[続] Weierstrassの函数について～ ）
今回は，病的函数のもう1つの有名な例である「高木函数」といわれるものを紹介しましょう。
まず，函数の名前に「高木」という日本人の苗字が付いているのが気になりますよね？
この「高木」は日本人の数学者である高木貞治（1875-1960）のことです。私自身，代数学の分野について詳しく無いので詳細は知らないのですが，高木貞治は代数的整数論に於いて多くの功績を残している人物と聞きます。また，高木貞治は多くの日本語の数学教科書を著しています。特に「解析概論」という名前の教科書はとても有名です。 (中央図書館の1階にも置いてあります。)
では，その高木函数といわれるものを定義していきましょう。
以下， $\mathbb{Z}$ を整数全体の集合とします。 函数 $d : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を, \[ d(x) = \inf \bigl\{ |x-z| \mid z \in \mathbb{Z} \bigr\} , \quad x \in \mathbb{R} \] で定義します。
この $d$ という函数は，実数直線上の点 $x$ に対して，それと一番近い整数の点との距離を表すものです。勿論, $x$ が整数のときは，その点自身が整数なので自分自身との距離は $0$ となり, $d(x)=0$ がいえます。
一目で分かるようにグラフを描いてみましょう。
これが整数との距離函数 $d$ のグラフです。ノコギリの歯のような形が実数直線状に延びている形になります。
この $d$ を用いて, 高木函数 $T$ を定義します。
函数 $T:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を, \[ T(x) = \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{2^j} d(2^jx), \quad x \in \mathbb{R} \] と定義します。これを高木函数 (the Takagi function) と呼びます。この高木函数 $T$ は, 1903年に高木貞治が与えた函数です。(より正確にいうと,この $T$ は高木貞治が与えたものに同値なものです。)
早速このグラフを見てみましょう。Weierstrassの函数のときと同様に，右辺は無限和で表されているので $n\in \mathbb{N}$ として,一旦 \[ T_{n}(x) = \sum_{j=0}^n \frac{1}{2^j} d(2^jx), \quad x \in \mathbb{R} \] とおきます。そこで $\{T_{n}(x)\}$ を $n=1,\cdots,9$ で変化させたグラフをアニメーションで見てみましょう。
この高木函数もWeierstrassの函数と同様に, $\mathbb{R}$ 上の全ての点で連続だが全ての点で微分不可能という病的な性質を持っています。しかしその反面この高木函数は，数論や確率論の分野とも密接に関連していることが明らかになっており，重要な函数であることが分かってきています。
最後に余談ですが，私がこの高木函数を初めて知ったのは学部1年の解析学の授業の時でした。以前紹介したWeierstrass函数と同時にこの函数の存在を知りました。私自身この高木函数について詳しく研究してるわけではないのですが，以前に卒業された同じゼミの修士課程の先輩方は，この高木函数に関連したことについて詳しく勉強・研究されていたようです。
次回以降も今までに挙げた病的函数や，他の「私の研究・興味のある分野」について紹介していければと思います。