学生コンシェルジュの活動記録

こんにちは。数学専攻M1の松岡です。 ようやく先週から雪が積もり始めましたね。昨年,一昨年と富山では積雪が非常に少なく, 何となく雪は積もらないものだと錯覚していました。私の出身地は神戸で,　雪が積もらないどころか降ることさえ稀で初めて富山に来た年の冬はたいそう感動したのを覚えています。今年初めて富山に来る雪国出身以外の一年生にアドバイス…という訳ではないですが, 靴だけはきちんとした防水の物（または長靴）を買っておいたほうが良いかも知れません。 (融雪機の放水にも気を付けてください...。) では, 前回に引き続き「私の研究・興味のある分野について」ということで, $\varepsilon$-$\delta$ 論法についての続きを話していきたいと思います。 前回までの内容はこちらです ・$\varepsilon$-$\delta$論法って何 #01？～高校までの極限の定義との比較～ 実数列 $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ が $\alpha \in \mathbb{R}$ に収束するとは, \begin{align*}\tag{$\ast$} {}^{\forall}\varepsilon>0, \ {}^{\exists}N_{\varepsilon}\in \mathbb{N} \quad {\rm s.t.} \quad {}^{\forall} n \in \mathbb{N}, \ n \geq N_{\varepsilon} \quad \Longrightarrow \quad |a_{n}-\alpha| 限りなく近づく 」という言葉を用いて定性的に極限を定義しているのに対し, この定義(＊)ではそれを定量的に表現して定義しています。 この定義($\ast$)をきちんと見ていきましょう: まずこの論理式で書かれた定義 $(\ast)$ を噛み砕いて説明すると, $(\spadesuit) \qquad$ "あなたが"好きに指定した正数 $\varepsilon$ に対して, 必ずその $\varepsilon$ に応じた番号 $N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}$...

お久しぶりです。数学専攻M1の松岡です。図書館開館に伴い今週から学修相談も再開しました。私の相談時間が少し変更になり,今週から 月曜日 15:30-17:00 水曜日 16:00-17:30 になりました。大学院進学に関する進路相談や、数学に興味があって話してみたい方はぜひ気軽にお越しください！ 今回は, 自己紹介の欄にも書いた, 私の研究・興味のある分野についての続きを話したいと思います。前回までは主に「病的函数」というものについての紹介をしました。 前回までの内容はこちらから見られます ・病的函数について① ～Weierstrassの函数～ ・病的函数について② ～Weierstrassの函数～ ・病的函数について③ ～高木函数～ 今回はからは, タイトルにも書いた「$\varepsilon$ - $\delta$ 論法」について簡単に説明していこうと思います。 $\varepsilon$-$\delta$ 論法とは, 極限の厳密な定義で用いられる方法です。「極限」は高校の数学Ⅱで初めて出てくる概念かと思います。数列・函数の極限を数学Ⅲでも学びます。簡単の為, 以下では数列の極限のみを考えることにします。 高校では, 数列の極限を次のように学びます: 数列の極限（高校ver.） 実数列 $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ が $\alpha\in \mathbb{R}$ に対して, $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ が $\alpha$ に収束するとは, $n$ が 限りなく 大きくなるとき, $a_{n}$ が 限りなく $\alpha$ に近づくことをいう。このとき \[ \lim_{n\to \infty}a_{n}=\alpha \] と書く。 $\alpha$ を $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ の極限という. 実際に, 数列 $a_{n}=\frac{1}{n},\ n\in \mathbb{N}$ を例に考えてみましょう。$n=1,2,3,4,\cdots,k,\cdo...

こんにちは。数学専攻M1の松岡です。皆さんは,自分の進路についての悩み事はありませんか？ 前回投函されていた質問について,私なりの回答をしていきたいと思います。 前回,人間発達科学部のM2の方が回答してくれた内容は こちら です。 相談内容 大学院に進学された大きなきっかけや動機について聞きたいです。自分自身も、いずれ直面していく進路についての先輩からの励ましの声を聞けたら嬉しいです。 相談者 : 理学部2年 てらっちょ さん 回答 大学院に進学する学部卒で就職するかは大変悩む選択だと思います。私自身も,学部3年生の夏頃,この問題に直面しました。結果として大学院進学を選択したわけですが, 当時は非常に悩ましい選択であったと記憶しています。 では, 「大学院に進学した大きなきっかけや動機」について話したいと思います。 まず,大学院というものを意識し始めたのは,私は高校3年生の初めの頃です。その当時は,「大学に入ったら大学院まで進学してきちんと学問を修めよう」大雑把に考えていました。 （本当の所は,『理系学部は大学院まで行くもの!』という大きな偏見があったのかもしれないです...） この頃から大学院進学は考えていました。 学部に入学してからは, 1年生の前期に受けた解析学Ⅰという数学科の講義で, 以前も紹介した「 病的函数 」など自分が面白いと思える分野に出会い, 大学院へ進学しようと強く思い始めました。これが私の大きなきっかけであったと思います。それから数学科で様々な数学の講義を受けることで,より一層理解を深めたいという気持ちが強くなっていきました。 他方, 大学院（修士過程）に仮に進んだとして,上手くやっていけるだろうかなどの不安もありました。どんな分野であれ,専門的な内容を学んでいく上で基礎がしっかりしていないと先に進めません。 (私自身も4年生のゼミで基礎が出来ていないと指摘されました...今もそうかもしれないですが) このようなこともあり,進学を悩んでいた時期もありました。 相談者が理学部2年生ということで,もしかしたら私と類似したような悩みがこれから出てくるかも知れません。も...

「学修相談スタッフに相談してみよう」 本日, 新たに一通の質問が投函されていました。それがこちらです: 相談内容 以下, $\mathbb{P}$ を素数全体の集合, $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ を非負整数全体の集合とします. \[ p\in\mathbb{P},\; n \in \mathbb{Z}_{\geq 0} に対して, \ p+2^{n}\ が平方数となるような\ n\ が存在しない 素数\ p \ は無数に存在しますか？ \] 更に, ・ 無数に存在するならば, その無限列に "良い性質" はありますか？ ・ 有限個に限るならば, その $p\in \mathbb{P}$ の最大と最小を教えて下さい. ・ その様な $p\in \mathbb{P}$ がそもそも存在しないなら, その証明を教えて下さい. を教えて下さい. 相談者 : 理学部4年 しがない数学徒 さん ...という数論に関する数学の問題が届きました。 私は今のところ解けそうにないです...。 数論に詳しい学内の皆さん, 是非教えてください。 私は水曜日(16:00-17:30),金曜日(13:00-14:30)の時間帯にいるので,この問題に関して興味のある方,「解けたぞ！」という方,この質問に関わらず,直接相談したいことがある方,是非相談ブースにお越し下さい! もしこの問題が解けたら今後の活動記録に書きたいと考えています。

こんにちは。数学専攻M1の松岡です。 「私の研究・興味のある分野」について引き続き紹介します。前回までは「病的函数」の1つの例であるWeierstrass函数についてお話ししました。前回までの内容はこちらです: ・前々回の記録（病的函数って何？① ～Weierstrassの函数について～ ） ・前回の記録（病的函数って何？② ～[続] Weierstrassの函数について～ ） 今回は，病的函数のもう1つの有名な例である「高木函数」といわれるものを紹介しましょう。 まず，函数の名前に「高木」という日本人の苗字が付いているのが気になりますよね？ この「高木」は日本人の数学者である高木貞治（1875-1960）のことです。私自身，代数学の分野について詳しく無いので詳細は知らないのですが，高木貞治は代数的整数論に於いて多くの功績を残している人物と聞きます。また，高木貞治は多くの日本語の数学教科書を著しています。特に「解析概論」という名前の教科書はとても有名です。 (中央図書館の1階にも置いてあります。) 　 では，その高木函数といわれるものを定義していきましょう。 以下， $\mathbb{Z}$ を整数全体の集合とします。 函数 $d : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を, \[ d(x) = \inf \bigl\{ |x-z| \mid z \in \mathbb{Z} \bigr\} , \quad x \in \mathbb{R} \] で定義します。 この $d$ という函数は，実数直線上の点 $x$ に対して，それと一番近い整数の点との距離を表すものです。勿論, $x$ が整数のときは，その点自身が整数なので自分自身との距離は $0$ となり, $d(x)=0$ がいえます。 一目で分かるようにグラフを描いてみましょう。 (正の部分のみ描いていますが負の部分でも同じ形をしています) これが整数との距離函数 $d$ のグラフです。ノコギリの歯のような形が実数直線状に延びている形になります。 この $d$ を用いて, 高木函数 $T$ を定義します。 ...

こんにちは。数学専攻M1の松岡です。 前回と前々回の記事で，私の研究・興味のある分野の一部について少し紹介させていただきました。 前々回の記録（病的函数って何？①） 前回の記録（病的函数って何？②） 次回以降も私の興味のある数学の分野のお話や，なぜ私が数学（特に解析学）をより深く勉強したいと思ったかについて引き続き紹介していきたいと考えています。 ところで, 皆さんは自分がやってみたいと考えている研究・興味のある分野はありますか？ 多くの学部学科では2年生の後期から今までに増してより専門的な講義が始まっていると思います。そこで様々な専門分野に触れ，それらの基礎を学ぶと思うのですが，自分が何に興味があって大まかにどのような勉強・研究を進めていきたいかについて, 少し先を見据えておくことは重要です。 皆さんの大学に於ける学修について，不安や悩み事・誰かに話してみたい事があれば気軽にどうぞ！数学の話や趣味，アルバイトの話題，雑談等何でも構いません。少しでも力になれればと思います。ぜひ学修相談ブースにお越しください！ 次回私は10/28(水)16:00-17:30でブースに居ます。

今週から, 水曜日 16:00-17:30 金曜日 13:00-14:30 の時間の学修相談を担当している松岡です。 今回は,10/14(水)の活動記録で書いた「私の研究・興味のある分野」についての紹介の続きを書いていきたいと思います。今後ネタ切れが起きない限り続けていく予定です。（笑） 前回は「病的函数」というものを紹介しました。引き続き「病的函数」について紹介していきます。今回は,前回の内容でも述べたWeierstrassの病的函数というものがどんな形（グラフ）をしているかについて視覚的に紹介していきたいです。 函数 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を, \[ f(x)= \sum_{j=0}^{\infty}b^{j}\cos(a^{j}\pi x), \quad x \in \mathbb{R} \] で定義します。但し, $a$ を3以上の奇数, $b \in (0,1)$ を $ab>1+3\pi/2$ を満たすものとします。 この $f$ をWeierstrassの病的函数と呼び, 「$\mathbb{R}$ の全ての点で連続だが, 全ての点で微分不可能」という直感的には想像もできない病的な性質を持っています。 では, 実際にこの函数のグラフを見てみましょう. $a=13 \ , b=1/2$ とします. 右辺が級数で定義されているので,グラフを描く上で有限和で止めるために \[ f_{n}(x)= \sum_{j=0}^{n}\frac{1}{2^{j}}\cos(13^{j}\pi x), \quad x \in \mathbb{R} \] とおきます。 この $f_{n}$ を, $n=1,\cdots 9$ まで変化させ,その様子をgifで表してみましょう : こんな形になります。実際は右辺は無限和なので, これよりも更にギザギザした形になっていきます。上の画像だと $n=4$ ぐらいから線がつぶれて見えなってしまうので, 更に拡大して観察してみましょう： (プログラムの都合上 $n=8$ で止めています) 前回述べた通り, 直感的に言うと尖っている点では微分不可能になります。上のgifを観察すれば分かるように, 無限和で定義さ...

  こんにちは。月＆水曜日の学修相談を担当している松岡です。 今回は,自己紹介ページでも書いた,「病的函数」といわれる数学のある分野についての簡単な紹介をしたいと思います。 ここで紹介する「病的函数」とは, $\mathbb{R}$ 上で定義される実数値函数で,「 $\mathbb{R}$ の全ての点で連続であるが全ての点で微分不可能である函数」のことを言います。直感的に言うと,全ての点でグラフは繋がっているのにも関わらず,全ての点でトゲトゲしているようなグラフです。 私は高校二年生の時の数学の授業で,「ある点で微分可能ならばその点で連続である」というものを習いましたが,その逆は一般には成り立たない(例えば, $f(x) = |x|$ は $x=0$ で連続だが微分不可能)ということも併せて教えてもらいました。しかし,大学入学後すぐに現在私のゼミの先生に,上で述べた極端な反例である病的函数という存在を教えてもらいました。最初は直感的にその形(グラフ)を想像することも困難で,「本当にそんなものがあるのか」という困惑に近いものを感じました。それと同時に,数学の世界では私たちの直感に反する様々な事が起こり得るということに面白さを感じ,大きな興味を抱きました。 そこで1つ,ある病的函数の具体例を挙げておきたいと思います。 $a$ を3以上の奇数, $b\in (0,1)$ を $ab > 1+ 3\pi/2$ を満たすものとして, 函数 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を次のように定義します: \[ f(x) = \sum_{j=0}^{\infty}b^{j}\cos(a^{j}\pi x), \quad x \in \mathbb{R}. \] これは1875年にK.Weierstrassという人物により発表されました。この函数は先ほど述べた,「 $\mathbb{R}$ の全ての点で連続であるが全ての点で微分不可能である」という性質を持っています。より詳しく知りたい方は,「ワイエルシュトラス函数」と調べてもらえれば良いと思います。 次回以降も余裕があれば,私の興味のある分野・なぜ数学を学びたいかと思ったかについての諸々を書いていきたいと思います。次回は10/21(水)16:00-17:30でブ...

  改めまして,月曜日15:30-17:00＆水曜日16:00-17:30の学修相談を担当している松岡です。 本日は人間発達科学部の方が来られました。主な相談内容は卒論のためのゼミで行き詰っている問題の解決です。 ゼミで扱っている主な内容は偏微分方程式に関するもので,今回彼が持ってきた物は,ある型の偏微分方程式を,変数変換などを施して解の表示を導出するというものでした。その中で,今回の相談でメインの問題になったのはある常微分方程式を解く上での固有値の計算です。 dx(t)/dt= Ax(t) という型の常微分方程式を考えていく過程で行列A(今回は3×3の実行列でtに依存しないもの)の固有値を求めなければいけないのですが,係数が煩雑で先に進めない状態でした。他にもそれらに関するいくつかの質問を受けました。私自身も学部の微分方程式の授業で学んだことなのですが,まだまだ理解できていないところもあり,今回はアイデアを出すのみで詳しい証明までには至りませんでした。後日の課題にしたいと考えています。 次回は10/14(水)16:00-17:30でやっています。興味のある方はぜひお越しください！

 月曜日15:30-17:00＆水曜日16:00-17:30を担当している松岡です。 今回は理学部物理学科の方が来られました。主な相談内容は物理学と数学の分野を結ぶ学際的な分野の事情についてです。 物理のある分野をより詳しく厳密に学ぶために必要な数学の諸分野（代数,位相空間論,函数解析学など）を熱心に勉強されている様子でした。 数学・物理学に限らず,それらの種々の分野の土台となる部分をきちんと勉強し,将来の自分の専攻や自分が真に面白い・興味深いと感じるものについて研究が出来るように視野を広げておくことは非常に重要なことです。様々な分野のアイデアに触れ,それらを積極的に取り入れるということを心の片隅に置いておけば良いのではないか,と強く実感しました。 今回の学習相談を通して,逆に私自身も多くの学びを得た非常に良い機会であったと感じます。 来週も同時刻にブースに居ます。興味のある方はぜひお越しください！