【回答者求む！】学修相談スタッフに相談してみよう ～数学の質問～

「学修相談スタッフに相談してみよう」

本日, 新たに一通の質問が投函されていました。それがこちらです:

相談内容

以下, $\mathbb{P}$ を素数全体の集合, $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ を非負整数全体の集合とします.
\[ p\in\mathbb{P},\; n \in \mathbb{Z}_{\geq 0} に対して, \ p+2^{n}\ が平方数となるような\ n\ が存在しない 素数\ p \ は無数に存在しますか？ \] 更に,

・ 無数に存在するならば, その無限列に "良い性質" はありますか？
・ 有限個に限るならば, その $p\in \mathbb{P}$ の最大と最小を教えて下さい.
・ その様な $p\in \mathbb{P}$ がそもそも存在しないなら, その証明を教えて下さい.

を教えて下さい.

相談者: 理学部4年 しがない数学徒 さん

...という数論に関する数学の問題が届きました。
私は今のところ解けそうにないです...。 数論に詳しい学内の皆さん, 是非教えてください。

私は水曜日(16:00-17:30),金曜日(13:00-14:30)の時間帯にいるので,この問題に関して興味のある方,「解けたぞ！」という方,この質問に関わらず,直接相談したいことがある方,是非相談ブースにお越し下さい! もしこの問題が解けたら今後の活動記録に書きたいと考えています。